Un objet très étudié en théorie combinatoire des groupes est la série de croissance, qui est une série entière associée à un groupe avec un système de générateurs fini donné. La situation la plus favorable est celle où on peut exprimer cette série comme une fraction rationnelle, ce qui est souvent le cas.

Ce travail propose pour la série de croissance une généralisation naturelle à coefficients dans l'anneau de groupe, qu'on baptise "série de croissance complète". La rationalité (au sens de la théorie des séries formelles) de cette série implique trivialement celle de la série de croissance "classique".

Cette thèse étudie en détail le cas des groupes abéliens, puis démontre la rationalité de la série de croissance complète pour les groupes virtuellement abéliens. Le théorème 4.1.5 est une généralisation de trois résultats obtenus indépendamment par Eilenberg-Schützenberger, Klarner et Benson.