Ma thèse de doctorat se décompose en deux parties indépendantes. Dans la première partie, nous nous intéressons à la localisation des solutions des équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre. Plus précisément, il est connu que les solutions non triviales d’une équation aux dérivées partielles elliptiques du second ordre ne peuvent pas décroître à l’infini plus rapidement qu’une double exponentielle. Cependant, il n’est pas connu si cette vitesse de décroissance est optimale ou s’il est possible de la réduire. Le résultat principal de cette première partie montre que cette vitesse de décroissance est optimale : nous construisons une équation aux dérivées partielles du second ordre elliptique, ainsi qu’une solution, dans le cylindre T^2 × R, telle que la solution ait une décroissance double-exponentielle à l’infini. Dans la seconde partie, nous étudions la décroissance des coefficients de Fourier pour un produit de fonctions propres de l’opérateur Laplace-Beltrami sur une variété analytique compacte sans bord. Il est connu que dans le cadre analytique, les coefficients de Fourier d’une fonction analytique f ont une décroissance exponentielle. Cependant, cette estimation implique des constantes qui dépendent de f d’une façon inconnue. Dans cette partie, nous étudions le cas où f est un produit de fonctions propres du Laplacien. Notre résultat principal montre la décroissance exponentielle des coefficients de Fourier du produit de fonctions propres de manière quantitative. En particulier, nous quantifions explicitement le moment précis où la décroissance exponentielle apparaît.