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Le concept de rang dans les systèmes d'équations linéaires

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Published in Boyé, A., Leheaume, F. & Lefort, X. Contribution à une approche historique des mathématiques – IREM - Actes de la 7° Université d'été interdisciplinaire sur l'histoire des mathématiques, Université de Nantes, 12-17 Juillet 1997. Nantes - 12-17 juillet 1997 - Nantes: IREM des Pays de la Loire. 1999, p. 237-252
Abstract L'algèbre linéaire et la théorie des espaces vectoriels trouvent leurs origines dans l'étude des systèmes d'équations linéaires. C'est dans ce cadre que se sont constitués les concepts élémentaires tels que l'indépendance linéaire et le rang. La géométrie et le calcul vectoriel ont également eu un rôle moteur décisif, mais dans ce cadre c'est le calcul par les coordonnées qui a été le plus productif, ce qui ramène l'étude des problèmes linéaires à des équations numériques linéaires (cf. Dorier 1997, 1ère partie). Il a existé des techniques d'élimination ou de substitution pour résoudre des systèmes d'équations linéaires dès l'antiquité (dans les civilisations orientales ou occidentales). Cependant jusqu'au milieu du 18e siècle, celles-ci restèrent à l'état d'outil, ce qui intéressait les mathématiciens de l'époque était avant tout de résoudre des équations et malgré une volonté de classification de ces équations, celles-ci n'étaient pas prises pour un objet d'étude en soi indépendamment de leur résolution. Une notion aussi élémentaire que celle de dépendance linéaire ne s'est pas vraiment dégagée avant la fin du 19e siècle. On la verra cependant au centre d'un texte d'Euler datant de 1750, mais sous un aspect bien particulier lié au cadre des équations. Euler ne traite que d'exemples et n'a pas de notations à double indice pour désigner des coefficients de façon littérale dans l'écriture d'un système. Une telle notation introduite par Cramer la même année sera à la source du développement de la théorie des déterminants. Cette théorie dominera l'étude des systèmes d'équations linéaires jusqu'au début du 20e siècle (on l'aura alors généralisée à des systèmes en une infinité d'équations et d'inconnues dans ce qui constitue la préhistoire de l'analyse fonctionnelle, cf. (Dorier 1996)). L'émergence du concept de rang a demandé plus d'un siècle et demi de maturation. Il a fallu dépasser le stade de la recherche de méthodes de résolution pour déboucher sur une étude plus qualitative des systèmes linéaires. De plus, la dualité est au cœur de l'émergence du concept de rang, non pas une dualité théorisée, comme elle le sera par la suite dans la théorie des espaces vectoriels, mais une dualité qui s'autorise déjà à considérer n-uplets et équations comme des objets identiques quant à la linéarité. C'est cette longue maturation que nous avons voulu esquisser dans cet atelier, à travers la présentation essentiellement de trois textes : - Euler (1750) : la dépendance des équations et une première approche intuitive de la notion de rang. - Rouché (1880) (introduit par les textes de Leibniz (1693) et de Cramer (1750)) : une règle généralisant la règle de Cramer à tous les systèmes linéaires et donnant une vision partielle et contextualisée du rang. - Frobenius (1875-79) : le rang comme objet théorique dans une vision duale.
Keywords Histoire des mathématiquesSystème d'équations linéairesRangIndépendance linéaireDualité
Identifiers
ISBN: 978-2-86300-028-1
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Citation
(ISO format)
DORIER, Jean-Luc. Le concept de rang dans les systèmes d'équations linéaires. In: Boyé, A., Leheaume, F. & Lefort, X. (Ed.). Contribution à une approche historique des mathématiques – IREM - Actes de la 7° Université d'été interdisciplinaire sur l'histoire des mathématiques, Université de Nantes, 12-17 Juillet 1997. Nantes. Nantes : IREM des Pays de la Loire, 1999. p. 237-252. https://archive-ouverte.unige.ch/unige:16940

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Deposited on : 2011-09-15

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