Une application lisse entre espaces de Fréchet peut être caractérisée à l'aide des seuls duals par composition avec des courbes lisses. Ce résultat est à la base de la construction des espaces convenables, qui forment le cadre naturel pour une théorie générale de la différentiation. On introduit une notion de dérivée en un point pour une application entre espaces convenables qui permet de faire le lien avec la théorie classique.

On montre qu'une application de classe Höl^k_α entre espaces convenables, c'est-à-dire k fois différentiable avec une k-ème dérivée satisfaisant localement une condition de Hölder (pour un module de continuité α très général), peut être caractérisée à l'aide des seuls duals par composition avec des courbes lisses. Ce résultat n'est pas vrai pour une application de classe C^k. On montre encore que les espaces d'applications de classe Höl^k_α sont munis d'une structure naturelle d'espace convenable.