Cet article examine comment la notion d'espace vectoriel de fonctions s'est peu à peu imposée dans l'analyse entre 1880 et 1930 environ. Malgré certaines approches formelles précoces, les questions linéaires en dimension infinie sont longtempsrestées marquées par l'analogie avec la dimension finie, que l'on traitait alors à l'aide des déterminants. Nous regardons comment l'étude de l'équation de Fredholm d'une part, en particulier le travail de Hilbert, et l'émergence de notions topologiques d'autre part, ont fait apparaître, par des généralisations successives, la nécessité d'une approche axiomatique.