Soit "M" un espace riemannien symétrique de type non-compact et soit "G" le groupe connexe des isométries riemanniennes. On étudie dans cette thèse l'ensemble des distances sur "M"

I) G-invariantes,

II) faisant des plats riemanniens des sous-espaces isométriques à un espace normé.

Les résultats principaux sont les suivants

1) Soit "M" comme avant, soit a la partie abélienne d'une décomposition d'Iwasawa de l'algèbre de Lie de "G" et soit "W" le groupe de Weyl correspondant. Alors les normes sur "a", "W"-invariante sont en bijection avec les structures de Finsler sur "M", "G"-invariantes, elles-mêmes en bijection sur les distances sur "M", vérifiant I) et II).

2) Supposons "M" irréductible et soit "d" une distance sur "M", vérifiant I) et II). Alors le groupe "G"[d] des isométries pour "d" est l'indice 1 ou 2 dans le groupe complet "G"[r] des isométries riemanniennes; il est l'indice 2 seulement lorsque "M" = SO(2l,C)/SO(2l) ou M = SO(l,l,)/SO(l) x SO(l) et pour certains choix de "d".