Le sujet de la thèse est l'étude et la construction de méthodes numériques géométriques pour les équations différentielles qui préservent des propriétés géométriques du flot exact, notamment la symétrie, la symplecticité pour les systèmes hamiltoniens, la conservation d'intégrales premières, la structure de Poisson, etc. D'abord, on introduit une nouvelle approche de construction d'intégrateurs numériques géométriques d'ordre élevé en s'inspirant de la théorie des équations différentielles modifiées. Le cas des méthodes développables en B-séries est spécifiquement analysé. L'efficacité de cette approche est illustrée par la construction d'un nouvel intégrateur géométrque d'ordre élevé pour le mouvement d'un corps rigide. Ensuite, on étudie dans quelle mesure les excellentes performances des méthodes symplectiques persistent pour les problèmes de contrôle optimal. Enfin, on considère des méthodes de splitting pour les systèmes hamiltoniens utilisant des potentiels modifiés. On construit également des méthodes de splitting d'ordre élevé avec coefficients complexes pour les équations aux dérivées partielles paraboliques.
Thèse
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