Ce travail de thèse entre dans une perspective de recherche à propos des connaissances mathématiques de l'élève dans l'enseignement des critères de divisibilité ; nous cherchons à comprendre quelle est la part de l'expérience qu'il peut se construire à propos du monde des nombres et comment on peut tenter de convoquer cette expérience lors d'une interaction entre expérimentateur et élève. À travers l'étude du fonctionnement du milieu, nous tentons de cerner comment s'organisent les différents milieux de la tâche, d'en analyser les réponses et d'examiner en outre les moyens de faire vivre un savoir. Pour travailler ces questions, nous avons utilisé les informations recueillies lors d'observations directes dans les classes dans le but de construire une suite de situations expérimentales. Nous avons mis en évidence un phénomène didactique, la saturation du milieu, où professeurs et élèves sont submergés par un afflux de connaissances dans le milieu qu'ils ne parviennent pas à synthétiser.